Topologia Matemática

Temos na Matemática uma disciplina que nós explica os lugares ou espaços das muitas definições dessa forma a Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado uma extensão da geometria. Subdivide-se em topologia Geral, topologia algébrica e teoria das variedades.

A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos), que são utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. Uma classe de funções particurlamente importante no estudo dos espaços topológicos são funções conhecidas como homeomorfismos. Elas são as funções que preservam a "estrutura topológica" do seus espaço, assim se entre dois espaços existe um homeomorfismo então eles são topologicamente indistinguíveis.

A Topologia é uma área muito ampla da matemática com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é entre topologia geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade, a topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia, e a topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós.

Aspectos elementares

Espaços topológicos estão presentes em quase todos os ramos da matemática. Tal fato permitiu que a topologia se tornasse uma ponte entre diversas teorias matemáticas. A topologia geral, ou como é chamada em inglês, point set topology, define e estuda propriedades dos espaços topológicos como conexidade e compacidade. Além disto, a topologia geral classifica aplicações entre espaços topológicos por meio de termos como continuidade, homeomorfismos e aplicações próprias.

Já a topologia algébrica estuda as diferentes maneiras em que se pode associar a um determinado espaço topológico uma estrutura algébrica. Um exemplo disto é o chamado functor grupo fundamental, que associa um grupo a cada espaço topológico conexo por caminhos. Outros objetos de estudo da topológica algébrica são a homologia e a teoria K de um espaço topológico, que associam a um espaço topológico uma sequência de grupos abelianos e um par ordenado de anéis, respectivamente.

Outro ramo da topologia é a topologia diferencial, que estuda a topologia de variedades diferenciáveis, e quais propriedades definidas em termos analíticos são na realidade conseqüências da topologia de uma variedade. Entre as implicações importantes desta teoria, temos o teorema de Gauss-Bonnet, a teoria de Morse e o teorema do índice de Hopf.

No contexto da teoria de categorias existe uma generalização de espaço topológico, definida por Grothendieck e que denomina-se topos.